7. Proprietà di Archimede

7.1. Definizione

Sia @alpha, beta in RR^+@, @beta / alpha@ è ancora positivo, @beta/alpha = +m_0,m_1m_2m_3…@
Prendendo @n >= m_0+2@ si ha

@n > beta/alpha hArr alpha n > beta@

Dati due numeri reali positivi @alpha@ e @beta@ esiste un numero naturale @n@ tale che @alpha * n > beta@ [ esiste sempre un multiplo più grande dell’altro ]

Dimostrazione (per assurdo):

Per assurdo, diciamo che @nx <= y, AA n in NN@. Dunque @n <= y/x rArr NN@ superiormente limitato, cosa che è falsa.

Nota

@RR@ è archimedeo, cioè @AA x > 0, y in RR, EE n in NN : nx > y@

8. Teorema di densità di Q e di R\Q nei Reali

@AA x,y in RR@ con @x < y@ esistono @q in QQ, s in RR\QQ@ tale che @x < q < y and x < s < y@

Oppure

Siano @x, y in RR@ e sia @x < y@, allora @EE q in QQ and EE s in RR\QQ : x < q < y and x < s < y@

8.1. Dimostrazione dei 3 casi di Densità

Dalle ipotesi del Teorema abbiamo che x < y da cui si evince facilmente che @y-x>0@.
Applichiamo la proprietà di Archimede che dice @EE n_0 in NN : n_0(y-x) > 1 hArr y-x > 1 / (n_0)@.
Preso il numero @n_0 x@, consideriamo l’insieme @H = { h in ZZ, h <= n_0 x} rArr@
@rArr EE m_0 in H : m_0 <= n_0 x < m_0 + 1@

@x < (m_0 +1)/n_0 = m_0 / n_0 + 1 / n_0 <= x + 1 / n_0 < x + (y-x) = y@

Nota

@x + 1 / n_0@ è minore ( in senso stretto ) di @y@

  1. Caso: @x@ Razionale, @y@ non Razionale

    • Sia @x in QQ, y in RR\QQ@ [ oppure @x in RR\QQ, y in QQ@ ]
    • @x < (x+y) / 2 < y@ ( prendiamo il punto di mezzo )
    • @(x+y) / 2 in RR\QQ@ ed è il punto di mezzo.

  2. Caso: Entrambi non razionali

    • Sia @x,y in RR\QQ@
    • @x < (x+y) / 2 < y@ ( prendiamo il punto di mezzo )
    • @(x+y) / 2@ può appartenere a @RR\QQ@ oppure @QQ@
    • Nel caso @RR\QQ@ abbiamo finito: se @(x+y)/2 in RR\QQ@ si ha la tesi.
    • Nel caso @QQ@, ovvero @(x+y)/2 in QQ@, la tesi segue dal caso precedente.

  3. Caso: Entrami Razionali

    • Sia @x,y in QQ@
    • Consideriamo @z in RR\QQ, z > 0@ ( z non razionale positivo )
    • Sia @y-x > 0, z > 0@
    • Per la proprietà di archimede esisterà un multiplo @n in NN@ tale che @n * (y-x) > z@
    • Quindi @(y-x) > z / n@
    • @x < x + z / n@ è un’ugaglianza sempre vera @rArr@
    • @x < x + z / n < x (y-x) = y@
    • @z / n in RR\QQ@

Nota

differenza tra densità e continuità: La continuità mi dice che non ci sono dei buchi(vuoti) tra due numeri. La densità ha un’informazione in più.