4. Calcolo Combinatorio¶
Sia @n in NN, a_1,a_2,a_3,…,a_n, h <= n text( con ) h in NN@. Scegliamo @h@ di questi oggetti.
Nota
Ogni volta che scegliamo @h@ di questi oggetti si dice che abbiamo fatto una disposizione
4.1. Disposizione¶
Si chiama disposizione degli @n@ oggetti su @h@ posti (opp. @n@ oggetti @h@ ad @h@) una scelta ordinata (tengo conto dell’ordine) di @h@ oggetti fra gli @n@ oggetti dati.
Nota
Perchè ordinata? Perchè tengo conto dell’ordine! Infatti @a1,a2,a3@ è diverso da @a2,a1,a3@
Due disposizioni quindi differiscono o perchè il numero di elementi è diverso, o perchè gli elementi sono diversi oppure perchè la disposizione degli elementi è diversa.
Si indica con @D_(n,h)@ il numero delle disposizioni di @n@ oggetti su @h@ posti. Poichè tali elementi non possono essere ripetuti, se ho 3 oggetti da scegliere su 10 oggetti, il primo @a_(i1)@ avrà 10 scelte diverse, @a_(i2)@ ne avrà 9, @a_(i3)@ ne avrà 8 e così via…
Nota
per @a_(i1)@ abbiamo @n@ modi diversi di scelta, @a_(i2)@ abbiamo @n-1@ modi diversi, @a_(i3)@ saranno @n-3@ modi
Quindi se abbiamo @n = 10@ e @h = 3@, la disposizione di @n@ oggetti su @h@ posti @D_(10,3) = 10 * 9 * 8@.
@D_(n,h) larr def rarr n(n-1)(n-2)…(n-(h-1))@
Avvertimento
Il professore ha sbagliato scrivendo @(n-(h+1))@ alla lavagna
4.2. Permutazione¶
Se @h = n@ si dice che si ha una permutazione degli @n@ oggetti dati. La permutazione è un particolare caso di Disposizione.
Nota
Nelle permutazioni l’unica differenza che si può avere è l’ordine degli elementi negli @h@(o @n@) posti
Quindi se abbiamo @n = h = 10@, @D_(n,h) = P_n = P_10 = n(n-1)(n-2)…1 = n!@ [ @n@ fattoriale ]. Attraverso il fattoriale è quindi possibile scrivere le due formule nel seguente modo:
@D_(n,h) = (n!) / ((n-h)!)@, e @P_n = n!@
4.3. Combinazione¶
Si chiama combinazione di @n@ oggetti su @h@ posti ogni scelta ( non necessariamente ordinata ) di @h@ oggetti fra gli @n@ dati. Due combinazioni differiscono solo se contengono qualche elemento diverso.
@C_(n,h) = D_(n,h) / P_h@
@C_(n,h) = (n(n-1)(n-2)…(n-h+1)) / (h!) = ((n),(h))@ che è chiamato coefficiente binomiale
Nota
Il coefficiente binomiale con @h = 0@ è sempre @1@
| Lezione del: | 29-10-2015 |
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