3. I Numeri Reali¶

3.1. Introduzione all’insieme @RR@¶

Sia @m/n in QQ@, @m/n@ può essere rappresentato nella forma

@+-q_0,q_1q_2q_3q_4@… [ infinite cifre dopo la virgola ]

definita allineamento decimale dove @q_0 in NN_0@ mentre @q_1,q_2,q_3@ sono cifre = {0, 1, …, 9}.

3.1.1. Definizione di Numero Reale #1¶

Ad ogni numero razionale si può associare un unico allineamento decimale che è finito oppure periodico.

3.1.2. Definizione di Numero Reale #2¶

chiameremo numero reale lo @0 in Q@ ed inoltre ogni simbolo del tipo @+-c_0,c_1c_2c_3c_4@… dove @c_0 in NN_0@ mentre @c_1, c_2, c_3@ sono cifre che non sono tutte nulle (cioè @0@).

3.1.3. Definizione di @RR@¶

è l’insieme dei numeri Reali positivi se hanno il segno @+@, negativi se hanno il segno @-@, lo @0@ non è positivo nè negativo.

Lezione del:	13-10-2015

3.2. Uguaglianza in @RR@¶

Definizione:

Siano @x, y in RR@, diremo che essi sono uguali se @x@ e @y@ sono lo zero di @QQ@ oppure, se nessuno dei due è lo zero, se hanno lo stesso segno, la stessa parte intera e le cifre decimali ordinatamente uguali con l’eccezione dei numeri periodici di periodo 9.

3.2.1. Proprietà della relazione Uguaglianza¶

Riflessiva : @x = x AA x in RR@
Simmetrica : @x = y rArr y = x@
Transitiva : @x = y and y = z rArr x = z@

Lezione del:	13-10-2015

3.3. Ordinamento in @RR@¶

3.3.1. Definizione di Ordinamento in @RR@¶

Siano @x, y in RR@ con @x != y@

Se @x@ ha il segno @+@ e @y = 0@; diciamo che @x@ è più grande di @y@ [@x > y@]
Se @x@ ha il segno @-@ e @y = 0@; diciamo che @y@ è più grande di @x@ [@y > x@]
Se @x@ ha segno @+@ e @y@ ha segno @-@; diciamo che @x@ è più grande di @y@ [@x > y@]
Se @x@, @y@ hanno il segno @+@; diciamo che @x@ è più grande di @y@ se la parte intera di @x@ è più grande di quella di @y@. Se invece le parti intere sono uguali confrontiamo, in maniera ordinata, le cifre decimali dopo la virgola fin quando non troviamo una cifra di @x@ che è più grande di @y@
Se @x@, @y@ hanno il segno @-@; Indico @-x@ e @-y@ i numeri che si ottengono da @x@, @y@ cambiando il segno; diciamo che @x@ è più grande di @y@ se @-x < -y@ [ Quando due numeri hanno il segno @-@ cambiamo di segno i due numeri e ci riconduciamo alla definizione precedente ]

Nota

Se le parti intere sono uguali confrontiamo la prima cifra decimale e così via…

3.3.2. Proprietà dell’Ordinamento in @RR@¶

Antisimmetrica : @x <= y and y <= x@ @rArr@ @x = y@
Transitiva : @x <= y and y <= z@ @rArr@ @x <= z@

3.3.3. Definizione di Ordinamento Totale¶

L’Ordinamento in @RR@ è totale perchè due elementi in @RR@ sono confrontabili, qualunque essi siano. L’Ordinamento Totale è un particolare Ordinamento Parziale [ si definisce ordinamento parziale quando almeno due elementi non sono confrontabili ].

Vedi anche

Approfondire Ordine Lessicografico

Il simbolismo in campo scientifico è fondamentale. Non possiamo parlare a vanvera anzichè indicare una cosa ne indichiamo un’altra. Se io prendo un testo in inglese o indiano, visto che i simboli sono uguali in tutte le lingue lo puoi leggere. Se i simboli fossero diversi da paese a pese sarebbe un guaio. Il simbolismo uguale in tutti i paesi è fondamentale per la comunicazione. Il succo: Dobbiamo stare attenti ad usare i simboli appropriati quando si esprime un concetto.

Lezione del:	13-10-2015

3.4. Valore Assoluto @|x|@¶

Definizione:

Dato un numero reale @x@, si chiama valore assoluto di @x@ un altro numero reale definito come segue

@|x| = 0 if x = 0@
@|x| = x if x text( è positivo)@
@|x| = -x if x text( è negativo)@

Es. @if |x - 1| = {(0 text( per ) x = 1),(x-1 text( per ) x > 1),(-(x-1) text( per ) x < 1):}@

Nota

nell’esempio stiamo esaminando/studiando il segno di tutta la quantità che abbiamo dentro il valore assoluto

3.4.1. Proprietà del Valore Assoluto¶

@|x| = 0 hArr x = 0@

Dimostrazione :

Ip. @|x| = 0@; Ts. @x = 0@.

Procediamo per assurdo supponendo che @x != 0@, quindi @x@ è positivo oppure @x@ è negativo.

Se @x@ è positivo allora @|x| = x rArr x > 0 rArr@ contraddizione dell’ipotesi.

Se @x@ è negativo allora @|x| = -x rArr -x > 0 rArr@ contraddizione dell’ipotesi.

Quindi @x = 0@.
@|x| >= 0 AA x in RR@ ( non è mai negativo )
@|x| = |-x| AA x in RR@

Dimostrazione :

@x@ positivo @rArr |x| = x = +c_0,c_1c_2c_3@… [ Allineamento decimale con segno @+@ ] quindi @-x = -c_0,c_1c_2c_3@… è negativo.

@|-x| = -(-x) = +c_0,c_1c_2c_3@… quindi in tutte i due casi vale @+c_0,c_1c_2c_3@…

@x@ è negativo @rArr -x@ è positivo @rArr |-x| = -x @ (Proprietà transitiva)

Lezione del:	13-10-2015

3.5. Somma in @RR@¶

3.5.1. Somma tra positivi¶

Sia @x = c_0,c_1c_2c_3… and y = d_0,d_1d_2d_3…@

@x+y = +h_0,h_1h_2h_3…@

Indichiamo con

@x_0 = +c_0 , y_0 = +d_0 rArr x_0 + y_0 = s_0@
@x_1 = +c_0,c_1 , y_0 = +d_0,d_1 rArr x_1 + y_1 = s_1@
continuando così…

Definiremo @s_0@ ed @s_1@ somme parziali.

Lezione del:	13-10-2015

3.5.2. Somma tra positivo e negativo¶

Si considerano i valori assoluti dei numeri e si prende il segno di quello maggiore ( come valore ) e si fa la differenza dei due numeri mettendo il maggiore come primo numero.

Appunti incompleti…

3.5.3. Teorema delle Somme Parziali¶

Eseguendo le somme parziali da un certo posto in poi la parte intera rimane la stessa; da un posto successivo anche la prima cifra decimale rimane la stessa e così via…

@a in RR^+, b in RR^-@ : @a+b = {(+(|a| - |b|), if |a| > |b|),(0, if |a| = |b|),(-(|b| - |a|), if |a| < |b|):}@

Lezione del:	13-10-2015

3.6. Prodotto in @RR@¶

Sia @a, b in RR^+@ con @a=+h_0,h_1h_2h_3@… e @b = + m_0,m_1m_2m_3@…
Teorema
Da un certo posto in poi, i numeri @p_0,p_1@… hanno la stessa parte intera, da un posto successivo anche la prima fila decimale rimane costante
@a in R^+@, @b in R^-@ : @a * b = - |a| * |b|@

Appunti incompleti…

Lezione del:	20-10-2015

3.7. Proprietà della Somma e del Prodotto in @RR@¶

Avvertimento

Tutte queste proprietà ci servono per poter eseguire i calcoli e devono essere tutte dimostrate/dimostrabili

Commutativa : @a + b = b + a, a*b = b*a@
Associativa : @(a+b)+c = a+(b+c), (a*b)*c = a*(b*c)@
Elemento neutro della somma è @0@ : @a+0 = 0+a = a@
Elemento neutro del prodotto è @1@ : @a*1 = 1*a = a@
Ogni @a in RR@ ha l’opposto (si indica con @-a@)
Ogni @a in RR, a != 0@ ha l’inverso (si indica con @1/a@)
Proprietà distributiva ( del prodotto rispetto alla somma ):

@(a+b) * c = a * c + b * c@
legge dell’annullamento del prodotto ( per risolvere le equazioni ):

Se @a*b = 0@, allora almeno uno dei due fattori dev’essere @0@.

Es. @(x+1)(x-2) = 0@ allora @x+1 = 0@ oppure @x-2 = 0@, quindi @x=-1 or x=2@
Regola dei segni ( Per risolvere le disequazioni ):

@+ * + = +@

@+ * - = -@

@- * - = +@

Nota

L’elemento neutro, l’opposto e l’inverso sono unici

Nota

Prima regola che bisogna imparare nello studio del calcolo scientifico: Nella teoria devo trovare qualcosa che giustifica la mia operazione, altrimenti non la posso fare

Lezione del:	20-10-2015

3.8. Potenza in @RR@¶

Sia @a^n = a*a*a*a@ … (n fattori) con @n in NN@

3.8.1. Proprietà della potenza¶

@a^(n_1) * a^(n_2) = a^(n_1+n_2)@
@a^(n_1) / a^(n_2) = a^(n_1-n_2)@
@(a^n)^p = a^(n*p)@
@a^0 = 1 AA a in RR, a != 0@ ( @0^0@ non ha alcun significato)
@a^-n = a/a^n@ (inverso di @a^n@) con @n in NN@

Sia @x^n = a@ dove @n in NN, a in RR@
Caso @a = 0@ [ è il caso più semplice ]
L’equazione diventa @x^n = 0 rArr x=0@
Dalla legge dell’annullamento del prodotto segue che @x=0@ è l’unica soluzione.

Nota

Applicando la legge dell’annullamento del prodotto uno dei fattori dev’essere @0@, ma essendo tutti i fattori uguali la soluzione non può essere che @x = 0@

Caso @a > 0@ [ Cerchiamo soluzioni positive ]
L’equazione @x^n = a if a > 0@ ammette una ed una sola soluzione positiva, questa soluzione viene chiamata radice aritmetica n-esima(ennesima) di a.
Definizione del TEOREMA della «radice n-esima aritmetica di a», simbolo @root(n)(a)@

Sia @a > 0@ e sia @n in NN@. L’equazione @x^n = a@ ha un’unica soluzione positiva.

[ Di questo teorema NO DIMOSTRAZIONE ]
Caso @a > 0@ [ Cerchiamo soluzioni negative ]
Se @n@ è dispari, l’equazione che stiamo considerando non ha soluzioni negative.
Se @n@ è pari, il numero @- root(n)(a)@ è soluzione dell’equazione @x^n = a@ ed è unica.

Nota

se fossero più di una, gli opposti delle soluzioni trovate sarebbero positive e questo andrebbe contro il teorema enunciato nel caso precedente

Caso @a < 0@
Tutto dipende da @n@; se è pari allora non esistono soluzioni.
Se @n@ è dispari, se esistono soluzioni saranno sicuramente numeri negativi [ applicando la regola dei segni ]. Supponiamo che @bar(x)@ (negativo) sia una soluzione:
@bar(x)^n = a hArr - (bar(x)^n) = -a hArr (-bar(x))^n = -a text( dove ) -a > 0, - bar(x) > 0@
Dal teorema precedente segue che @-bar(x)@ è unico ed è @-bar(x)@ = @root(n)(a) rArr bar(x) = - root(n)(a)@.

Nota

Quando @n@ è dispari, per comodità di scrittura @- root(n)(-a)@, adottiamo la scrittura @root(n)(a)@ portando all’interno della radice il segno @-@

Lezione del:	20-10-2015

3.9. Radice Quadrata in @RR@¶

Simbolismi e proprietà

@root(n)(a) = a^(1/n)@ quindi @a^(m/n) = root(n)(a^m) if a >= 0 or ( a < 0 and n, m text( pari)) or (a < 0 and n text( dispari))@.

Nota

Se @a < 0@, @n@ pari e @m@ dispari allora @a^(m/n)@ non ha significato.

Sia @a^q, q in RR@ con @q = m_0,m_1m_2@… [ infinite cifre ]

Possiamo definire @a^(m_0,m_1…) = a^((m_0,m_1…) / 10)@ solo se @a >= 0@ poichè non sappiamo se @m_0,m_1@… possa essere pari come la base.

Lezione del:	20-10-2015

3.10. Logaritmo in @RR@¶

Sia @a^x = b@ @larr def rarr@ equazione esponenziale
Consideriamo @a, b, x in RR@, cerchiamo di risolvere l’equazione esponenziale @a^x = b@ nell’insieme dei numeri Reali.
@a@ dev’essere maggiore di @0@ poiché non sappiamo se @x@ è negativo @rArr@ da ciò segue che anche @b@ dev’essere positivo.
Inoltre supponiamo @a != 1@ [ poiché se @a@ fosse @1@ avremmo infinite soluzioni per @x@ ].
Teorema
Se @a, b > 0@ ed @a != 1@, l’equazione esponenziale @a^x = b@ ha soluzione unica.
Questa soluzione viene definita «logaritmo in base a di b», simbolo @log_a b = x@
Es. 1 @x = log_2 8 hArr 2 ^ (log_2 8) = 8 rArr@ quindi @log_2 8 = 3@
Es. 2 @x = log_4 5 hArr 4 ^ (log_4 5) = 5 rArr 4 ^ x = 5@

Dimostrazione
Sia @log_4 5 in RR@\@QQ@
Per assurdo:
esiste @p/q@ con @p, q in ZZ, q != 0@ tale che @log_4 5 = p/q hArr@
@4 ^ ( p/q) = 5@ [ esattamente la definizione di logaritmo ] @hArr@
@(4 ^ ( p/q) ) ^ q = 5 ^ q hArr 4 ^ q@ [pari] @= 5 ^q@ [dispari] @ rArr @ASSURDO.

Lezione del:	22-10-2015

3.10.1. Proprietà usate per risolvere equazioni e disequazioni logaritmiche¶

Nota

Se l’argomento dell’algoritmo è @1@, qualunque sia la base il risultato è @0@

@log_a 1 = 0 AA a > 0, a != 1@ [ questo perchè per definizione @a ^ 0 = 1@ ]

Generalizzando abbiamo che @log_a b = 0 hArr b = 1 AA a > 0, a != 1@
@a ^(log_a b) = b if log_a b > 0 hArr a, b > 1 or 0 < a, b < 1@
@log_a b < 0 hArr 0 < b < 1 < a or 0 < a < 1 < b@
Se @a > 1, b_1 < b_2 rArr log_a b_1 < log_a b_2@ [ dalla proprietà delle potenze ]
Se @0 < a < 1, b_1 < b_2 rArr log_a b_1 > log_a b_2@
@log_a b_1 + log_a b_2 = log_a (b_1 * b_2)@

Dimostrazione:

@x_1 = log_a b_1 and x_2 = log_a b_2@

@a ^(x_1) = b_1 and a ^ (x_2) = b_2@

@a ^ (x_1 + x_2) = b_1*b_2 rArr x_1 + x_2 = log_a (b_1 * b2)@

Segue @log_a b1 + log_a b2 = log_a (b1 * b2)@
@log_a b_1 - log_a b_2 = log_a (b_1 / b_2)@ con @a, b, c > 0 , a != 1, c != 1@
@log_a (b ^ c) = c * log_a b@

Dimostrazione:

@x = log_a b rArr a ^ x = b rArr (a ^ x) ^ c = b ^ c rArr a ^ (c * x) = b ^ c@
@log_a b = log_c b/ log_c a@ [ Cambiamento di base ]

Dimostrazione [ usando la def di logaritmo ]:

@x = log_a b rArr a ^ x = b rArr log_c (a ^ x) = log_c b rArr@

@x * log_c a = log_c b rArr x = log_c b / log_c a@

3.10.2. Esercizi sui logaritmi¶

@log_2 (x^2 + 2x) - log_(1/2) (1/4) = 1@
- @x^2 + 2x > 0@
- @log_(1/2) (1/4) = ( log_2 (1/4) = -2 ) / ( log_2 (1/2) = -1 ) = 2@ P(9)
1. @log_2 (x^2 + 2x) - 2 = 1 rArr log_2 (x^2 + 2x) = 3 rArr@
2. @2^(log_2 (x^2 + 2x)) = 2^3 rArr@ P(2)
3. @x^2 + 2x = 2^3 rArr@
4. @x^2 + 2x - 8 = 0@
- @Delta = 4 + 32 = 36@
- @x = (-2 + (+- 6)) / 2 = 2 or -4@
- Quindi @x = 2 or -4@
@sqrt(1 + log_(sqrt(2)) x) >= 3 hArr@ #c1
- @x > 0@
1. @1 + log_(sqrt(2)) x >= 0 hArr@
2. @log_(sqrt(2)) x >= -1 = log_(sqrt(2)) sqrt(2)^-1 hArr@ ????
3. @x >= sqrt(2)^-1 hArr@
4. @x >= 1 / sqrt(2)@
1. #c1 @hArr 1 + log_(sqrt(2)) x >= 9 hArr@
2. @log_(sqrt(2)) x >= 8 = log_(sqrt(2)) sqrt(2) ^ 8 hArr@
3. @x >= sqrt(2) ^ 8 = (sqrt(2)^2)^4 = 16 rArr@
4. @x >= 16@
@{ (| log_2 x + 3 | = 5 ),( x > 0 ) :} rArr@ #S1, #S2
1. #S1 = @{ (log_2 x + 3 >= 0 ), ( log_2 x + 3 = 5), (x > 0) :} rArr@
2. @{ (log_2 x >= log_2 (2^-3)), (log_2 x = log_2 (2^2) ), ( x > 0) :} rArr@
3. @{ (z >= 2 ^ -3 = 1/8 ), (x = x^2 = 4), (x > 0) :} rArr@
4. @x = 4@
1. #S2 = @{ (log_2 x + 3 < 0 ), (-(log_2 x + 3) = 5), (x > 0) :} rArr@
2. @{ (log_2 x < -3 ), (-log_2 x = 8 ), (x > 0 ) :} rArr@
3. @{ (x < 1/8 ) , (log_2 x = -8) , ( x > 0 ) :} rArr@
4. @{ (x < 1/8 ), ( x = 2^-8 ), ( x > 0) :} rArr@
5. @x = 2^-8 = 1/2^8 = 1/16^2 = 1/256@
- Quindi per #S1 @x = 4@, #S2 @x = 1/256@

Nota

L’esercizio seguente va sempre trasformata nella forma @a^x = b@, perchè noi sappiamo risolvere questa forma

@3 * 3^(2x) + 7^(2x+1) = 3^(2x+2)+7^(2x)@
1. @3 * 3^(2x) - 3^(2x+2) = 7^(2x) - 7^(2x+1) hArr@ [ uniamo le potenze con la stessa base ]
2. @3 * 3^(2x) - 3^(2x) * 3^2 = 7^(2x) - 7^(2x) * 7 hArr@
3. @3^(2x) * (3-9) = 7^(2x) * (1-7) hArr@
4. @3^(2x) *(-6) = 7^(2x) * (-6) hArr@
5. @3^(2x) = 7^(2x) hArr@ [per togliere dall’esponente 2x aggiungiamo log in base 10 ad entrambi i membri]
6. @log_10 3^(2x) = log_10 7^(2x) hArr@
7. @2x * log_10 3 = 2x * log_10 7 hArr@
8. @x = 0@ è soluzione ed è unica poichè se @x != 0@ posso eliminare dall’equazione @2x@ ottenendo che @log_10 3 = log_10 7@ che è falso.
@2^(2x) -5^x -4^(x-1) +25^((x/2)-1) = 0@
1. @2^(2x) -5^x -(2^2)^(x-1) +(5^2)^((x/2)-1) = 0 hArr@ [ normalizziamo le basi come primo passaggio ]
2. @2^(2x) -5^x -2^(2x-2)+5^(x-2) = 0 hArr@
3. @2^(2x) -5^x -2^(2x) * 2^-2 +5^x * 5^-2 = 0 hArr@
4. @2^(2x) -5^x -2^(2x) * 1/4 +5^x * 1/25 = 0 hArr@
5. @2^(2x) * 3/4 +5^x * (-24/25) = 0 hArr@
6. @x^(2x) * 3/4 = 5^x * 24/25 hArr@ [prendiamo i @log@ per togliere la @x@ dall’esponente]
7. @log_2 (2^(2x) * 3/4) = log_2 (5^x * 24/25) hArr@
8. @log_2 (2^(2x)) + log_2 (3/4) = log_2 5^x + log_2 (24/25) hArr@
9. @(2x) + log_2(3/4) = x * log_2 5 + log_2 (24/25) hArr@
10. @(2x) - x * log_2 5 = log_2 (24/25) - log_2 (3/4) hArr@ [ il secondo membro, avendo la stessa base si può dividere ]
11. @x * (2 - log_2 5) = log_2 (24/25) * (4/3) hArr@ [ noi moltiplichiamo per l’inverso ]
12. @x * log_2 4 - log_2 5 = log_2 (96/75) hArr@ [ trasformiamo @2@ in @log_2 4@ ]
13. @x * log_2 (4/5) = log_2 (96/75) hArr@ [ applichiamo la stessa proprietà anche al primo membro ]
14. @x = log_2 (96/75) / log_2 (4/5)@ [ Non esiste una formula che ci da il quoziente di due logaritmi ]

Lezione del:	27-10-2015

3.11. Progressione Geometrica¶

Sia @q in RR, s in NN text( con ) q != 0 and q != 1@

@q + q^2 + q^3 + … + q^s larr def rarr q * (1 - q^s) / (1 - q)@

Defininendo @s = 1@, supponiamo vera per @h rArr@ e proviamo per @h+1@:
Se @s = 1@, il 1° membro vale @q@, il 2° membro vale @q * (1-q)/(1-q) = q@
Se @s = 2@, il 1° membro vale @q+q^2@, il 2° membro vale @q * (1-q^2)/(1-q) hArr@
@q * (1-q)(1+q) / 1-q hArr@ [ semplifico @1-q@ ] @hArr q * (1+q) hArr q+q^2@
Dimostrazione ( per induzione ):
Ip. @q + q^2 + q^3 + … + q^h = q * (1 - q^h) / (1 - q)@
Ts. @q + q^2 + q^3 + … + q^h + q^(h+1) = q * (1 - q^h) / (1 - q) +q^(h+1)@

@q * (1 - q^h) / (1 - q) +q^(h+1) hArr@

@(q*(1-q^h)+(1-q)*q^(h+1)) / (1-q) hArr@

@q - q^(h+1) + q^(h+1) - q^(h+2) / (1-q) hArr@

@q * (1-q^(h+1)) / (1-q)@ [ Dimostrata! ]

La famiglia @{ q; q^2; q^3; …; q^s}@ si definisce progressione geometrica con @q@ definito ragione

Nota

Se @s = oo@ allora si definisce successione

Nota

Il caso interessante è quando la ragione è diversa da 0 e 1.

Sommatoria @larr def rarr sum_(n=1)^s q^n = q + q^2 + q^3 + … + q^s@

Binomio di NEWTON @larr def rarr (a+b)^n@

per @n=2 rArr (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2@
per @n=3 rArr (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3@
@(a+b)^n = (a+b)*(a+b)*(a+b)* … *(a+b)@ [ @n@ fattori @(a+b)@] @=@

@sum_(h=1)^n ( text( #X ) (a^h * b^(n-h)))@

Dove #X è attualmente un incognita…

Lezione del:	27-10-2015

#X è il coefficiente binomiale ( Approfondire Calcolo Combinatorio )

Quindi @(a+b)^n =@

@sum_(h=1)^n (((n),(h)) (a^h * b^(n-h)))@

Nota

Supponiamo che @n >= 2@, perchè per @n<2@ è davvero semplice calcolare, quindi non è interessante

Lezione del:	29-10-2015