2. I Numeri Razionali

2.1. Introduzione all’insieme @QQ@

Work in progress…

2.2. Dimostrare che @x^2 = 2@ non ha soluzione in @QQ@

Nota

Questo è un problema che risale a circa 2000 anni fa

Supponiamo, per assurdo, che esista una frazione @p/q@ tale che @(p/q)^2 = 2@; sia @MCD(p, q) = 1@.

Se @MCD(p, q) = 1@ allora

@(p^2 / q^2) = 2 hArr p^2 = 2q^2@

la seconda espressione dell’uguaglianza, @2q^2@, è pari, quindi anche la prima lo è.

Se @p^2@ è pari, anche @p@ dev’essere pari.

@p = 2h@, ne segue @(2h)^2 = 2q^2 hArr 4h^2 = 2q^2 hArr 2h^2 = q^2 rArr q^2@ è pari @rArr q@ è pari

Sia @q@ che @p@ sono pari, ma è impossibile perchè va in contraddizione con l’ipotesi che @MCD(p, q) = 1@, quindi siamo arrivati all’assurdo.

Lezione del:13-10-2015