9. Maggioranti e Minoranti di un Insieme¶
9.1. Definizione di Maggiorante¶
Sia @X sube RR@ un insieme ordinato non vuoto. Sia @k in RR@ tale che:
@k >= x AA x in X@
Nota
@k@ non deve appartenere per forza ad @X@
@k@ viene chiamato maggiorante di/per @X@. In questo caso @X@ viene detto superiormente limitato.
Nota
Un qualunque insieme numerico o non ha maggioranti (non è superiormente limitato) oppure ne ha infiniti.
Sia @X = { n / (n+1): n in NN}@. Questo insieme è sicuramente superiormente limitato poichè @n / (n+1) < 1@ è sempre vera, per tale motivo @1@ è maggiorante così come tutti i numeri maggiori di @1@.
@n / (n+1) <= k AA n in NN@
- @n <= k(n+1) AA n in NN@ ( molt. per k)
- @n <= kn+k AA n in NN@ ( portiamo al secondo membro )
- @n(1-k) <= k AA n in NN@ ( dividiamo per k)
- Se @k < 1@ si ha @n <= k / (1-k) AA n in NN@
La condizione @n <= k / (1-k) AA n in NN@ non può essere vera perchè contraddice il fatto che @NN@ non è superiormente limitato, quindi abbiamo dimostrato che i maggioranti sono 1 e i numeri più grandi di 1.
9.2. Definizione di Minorante¶
Sia @X sube RR@ un insieme ordinato non vuoto. Sia @k in RR@ tale che:
@k <= x AA x in X@
Nota
@k@ non deve appartenere per forza ad @X@
@k@ viene chiamato minorante di/per @X@. In questo caso @X@ viene detto inferiormente limitato.
Nota
Un qualunque insieme numerico o non ha minoranti (non è inferiormente limitato) oppure ne ha infiniti.
Sia @X = { n / (n+1): n in NN}, k in RR@.
- @k <= n / (n+1) AA n in NN@
- @(n+1)k <= n AA n in NN@
- @kn+k <= n AA n in NN@
- @k <= n-kn AA n in NN@
@k <= (1-k)n AA n in NN, k < 1@ perchè @k >= 1@ sono maggioranti, mentre @k@ è un minorante. @k / (1-k) <= n AA n in NN@. @k / (1-k) <= 1 hArr k <= 1-k hArr 2k <= 1 hArr k<=1/2@
Tutti i @k <= 1/2@ saranno minoranti.
- @x = 1 rarr 1/31@
- @x = -sqrt(2) rarr -sqrt(2)/32@
- @k >= x / (x^2 + 30) AA x in RR rArr@ ( segue che @k>0@ )
- @k(x^2+30) >= x AA x in RR rArr@
- @k x^2 -x + 30k >= 0 AA x in R@
Nota
@k@ è positivo e il segno della disequazione è positiva quindi per esserci soluzione deve accadere che @Delta <= 0@
- @Delta = 1 - 4k (30k) = 1 - 120k^2 > 0 rArr@ ( cambiamo di segno )
- @rArr 120k^2 - 1 > 0@
- Il @Delta@ di @120k^2@ (@Delta_k@) è uguale a @4 * 120 > @ ( ??? )
@k <= 1 / sqrt(120)@ oppure @k >= 1 / sqrt(120)@ ma visto che @k > 0@ segue che @k >= 1 / sqrt(120)@ sono i maggioranti di @X@.
Esercizi:
Trovare i minoranti dell’esempio 3
Trovare i maggioranti e i minoranti dell’insieme @X = { (x+2)/(2x-4): x < 2}@
- Soluzione: @k >= 1/2@ sono maggioranti. Non ci sono minoranti.
Nota
Per gli informatici: il maggiorante in inglese è Upper bound, il minorante è Lower Bound
Nota
Un maggiorante/minorante di un insieme è un elemento che è maggiore/minore o uguale di tutti gli elementi dell’insieme.
10. Massimo e Minimo di un Insieme¶
10.1. Definizione di Massimo/Minimo di un insieme¶
Se @X@ è superiormente/inferiormente limitato ed esiste un maggiorante/minorante di @X@ che si trova in @X@ viene detto massimo/minimo di @X@
Se @bar(x)@ è massimo/minimo per @X { (bar(x) >= x AA x in X), (bar(x) in X) :} hArr@ il massimo/minimo di @X@ è il più grande/piccolo elemento di @X@
Nota
Se il massimo/minimo esiste allora è unico
Nota
Il massimo/minimo di un insieme ordinato è il massimo/minimo numero presente all’interno dell’insieme.
11. Estremo Superiore e Inferiore di un Insieme¶
11.1. Definizione #1¶
Se @X@ è superiormente/inferiormente limitato si chiama estremo superiore/inferiore il più piccolo(cioè minimo)/grande(cioè massimo) dei maggioranti/minoranti.
11.2. Definizione #2¶
L’estremo superiore/inferiore è il il più piccolo/grande elemento che appartiene all’insieme dei maggioranti/minoranti ed è unico
Nota
Un insieme avrà sempre un estremo superiore/inferiore quindi l’insieme dei maggioranti/minoranti di un insieme non sarà mai vuoto.
11.3. Teorema¶
Se @X@ è superiormente/inferiormente limitato, esiste sempre il minimo/massimo dei maggioranti/minoranti
Nota
Questo teorema è vero solo se @X sube RR@, se @X sube QQ@ allora è falso.
Avvertimento
La ragione principale che ha portato all’introduzione dei Reali è che essi costituiscono uno spazio «senza buchi». Più precisamente, i reali sono uno spazio metrico completo. La completezza può essere espressa in vari modi, tutti equivalenti all’assioma di Dedekind. l’insieme @QQ@ non può essere definito completo.