5. Teorema del Buon Ordinamento

5.1. Nell’insieme @NN@

Se @H sube NN@, allora esiste @bar(n) in H@ tale che @bar(n) <= h AA h in H@

Nota

@bar(n)@ viene chiamato minimo di @H@

Dimostrazione (per induzione):

Se @1 in H@, allora @bar(n) = 1@.

Se @1 !in H@, allora

@K = { x in NN: x <= h AA h in H}@, con @K != O/@ (insieme vuoto) perchè @K@ contiene @1@

Supponiamo che se @p in K@ allora @p+1 in K@

per il principio di Induzione @K = N@

Se @bar(h) in H, bar(h)+1 !in K@, Quindi @K != N@

Necessariamente deve esistere @p_0 in K@ tale che @p_0 + 1 !in K@

Dimostriamo (Per assurdo) che @p_0@ è il minimo di @H@, cioè deve essere @p_0 <= h AA h in H and p_0 in H@ [ vera perchè @p_0 in K@ ]

Supponiamo che @p_0 !in H@. Quindi @p_0 < h AA h in H@

Ne segue @p_0 + 1 <= h AA h in H rArr p_0 + 1 in K@ è falsa.

5.2. Nell’insieme @ZZ@

In @ZZ@ si ha che se @H sube ZZ@ non vuoto ed esiste @z_0 in ZZ@ tale che @z_0 <= h AA h in H@ allora @H@ ha il minimo.

Dimostrazione:

Ogni @h in H@ è maggiore o uguale di @z_0@.

Consideriamo @H^* = {h - (z_0 -1) AA h in H}@

@h - z_0 + 1 = h - (z_0 - 1) in ZZ and h - (z_0-1) > 0 rArr@

@H^* sube NN rArr EE n_0 in H^* : n_0 <= p AA p in H^*@

@n_0 in H^*@ significa che @EE h_0 in H : n_0 = h_0 - (z_0 - 1) hArr h_0 = n_0 + z_0 -1@

@n_0 <= p AA p in H^* hArr n_0 <= h - (z_0 - 1) AA h in H hArr n_0 + z_0 - 1 <= h AA h in H@

@n_0 + z_0 - 1@ è il minimo di @H@

5.3. Nell’insieme @QQ@

In @QQ@ si ha che se @H sube QQ@ non vuoto ed esiste @z_0 in QQ@ tale che @z_0 <= h AA h in H@ non è detto che @H@ abbia minimo. Ad esempio prendiamo @H = { x in Q, x > 0}@, questo insieme @H@ non ha minimo.

Nota

Prendo tutti i numeri razionali più grandi di @0@

Dimostriamo che @H@ non ha minimo (per assurdo):

Per assurdo sia @h_0@ il minimo di @H@. Quindi @h_0@ è un numero razionale (@h0 in QQ@) con @h_0 <= h AA h in H@.

Se io considero @h_0 / 2@, questo è un numero razionale. Se @h_0 = m/p@, @h_0/2 = m/(2p) in Q@. @h_0/2@ è positivo, quindi è un numero razionale maggiore di @0@ (@h_0/2 > 0@).

Ma allora essendo un elemento razionale positivo deve stare all’interno dell’insieme @H@. Quindi @h_0/2 in H@.

Ma @0 < h_0 < h_0/2@ è falsa poichè @h_0/2 < h_0@. Quindi @h_0@ non è il minimo di @H@.

Lezione del:29-10-2015